수학-태초부터 보내 온 우주의 암호

<송선생 교육칼럼 114>수학-태초부터 보내 온 우주의 암호

글/사진 제공: 송시혁 <송학원 원장, seahsong@gmail.com>

이야기로 풀어보는 단원별 12학년 수학 예습 – 3, Chapter 5, 6 Trigonometry

태초(太初)에 혼돈하고 공허하며 흑암이 깊음 위에 있고 빛이 있으라 하시니 빛이 있었고….. (창세기)

In the beginning of the world, there was a formless void and darkness covered the face of the deep. Then God said, “Let there be light”; and there was light. (Genesis).

1. 영(靈)과 빛(光)

‘야훼 하느님은 천지창조 이전에도 존재하여, 천지 만물을 6일 간에 걸쳐 창조하였다. 제1일에는 빛이 있으라 하여 빛을 만들고, 제2일에는 천공(天空)…… 제4일에는 태양과 달 그리고 별….. 제6일에는 동물과 인류를 만들었다.’ 즉, 태초에, 혼돈하고 공허하며 흑암이 깊음위에 하느님의 영(The spirit of God)만이 있는 세상에, 첫 째날, 빛이 창조되는 것으로 시작해서, 나흘째 되어서야 태양을, 그리고 마지막 날, 6일 째 되어서야 드디어 인간이 창조 되었다.

중세 시대에 팽배하던 천동설에 따르든지, 코페르니쿠스의 지동설에 따르든지, 어찌되었든, 태양이 떠야 온 지구가 밝은 빛으로 충만해지는데도 불구하고, 고대(또는 성경의 구약 때)로부터 모든 빛의 고향이 태양도 아니며, 오히려, 태양보다 수 많은 종류의 빛들이 먼저 있어왔음을 인지하고 있었다.

사실 ‘빛’이란 ‘일반적으로는 사람이 볼 수 있는 가시광선(可視光線, visible rays), 즉 약 400 nm에서 700nm 사이의 파장을 가진 전자기파(electromagnetic wave)를 뜻하기도 하지만, 넓은 의미에서는 모든 종류의 전자기파를 지칭한다.’ 따라서, 우리 눈에 보이지 않는 x-ray나 라디오 전파가 모두 해당되는데, 태양이나 불의 빛도 전파의 일종이다.

1900년대 초반까지도, 공허한 우주 공간에 빛이 운동하기 위해서 우주 공간은 에테르(aether, ether)라는 매질로 가득 찼다고 믿어왔지만, ‘빛의 진행 방향이 바뀌어도 빛의 속도가 일정하다’는 마이켈슨-몰리(Michelson-Morley) 실험으로 인해서 에테르의 존재는 부정되었다. 하지만, 이는, 현재까지 ‘과학적’ 사고로 이해되는 ‘빛 (전파)’은 파동이기 때문에, 우주공간에서 파동 운동을 하기 위해서는 분명히 무엇인가 매질이 있어야 하는데…..

결국, ‘공허한 우주공간’ 자체가 빛의 매질이라는, 아무리 생각해도 시원치 않고, 오히려 괴변적인 아이디어로 가설을 마무리했다. 마치, 과학적으로 ‘영(靈)’의 존재를 측정할 수 없으므로 존재하지 않는다고 말하는 것처럼…

2. 빛은 입자이면서 파동이다

빛은 입자와 파동의 두 가지 성질을 동시에 지니고 있다는 사실이 많은 실험을 통해서 증명되었다. 빛의 입자설과 파동설에 대한 논쟁은 기원전으로 거슬러 올라간다. 기원전 400년경, 데모크리토스 (Democritus)는 ‘원자론’에 따라 빛을 입자라고 생각한 반면, 기원전 350년 자연과학의 아버지 아리스토텔레스(Aristotle)는 4원소론(물, 불, 공기, 흙)에 의거 빛을 파동이라고 생각했다. 이후, 빛의 굴절과 반사 현상등의 관찰과 실험을 토대로 많은 과학자들이 파동이라고 주장했지만, 세련된 수학적 이론과 논리 체계로 무장한 데카르트(Descartes)나 뉴턴(Newton)과 같은 수리 물리학자들의 기세때문에 입자설에 더 무게가 실리기도 했다. 하지만, 19세기에도 여전히, 많은 실험을 통해서 빛이 파동이라고 주장이 이어져 오다가, 드디어, 맥스웰(Maxwell)의 전자기장에 대한 수학적 이론과 헤르쯔(Hertz)의 실험, 즉 빛과 (다른) 전자파들의 속도가 같다는 증명을 통해서 빛이 파동임이 거의 정설로 확정되다시피 했다. 그런데 다시, 20세기 이론 물리학의 거장 아인쉬타인(Einstein)의 빛이 광양자(photon), 즉 입자(particle)임을 주장함에 따라 파동설은 다시 흔들리기 시작했다. 그 후, X-ray (X선)이 실험을 통해서 파동과 입자의 성질을 모두 갖고 있음을 확인하는 것으로, 빛이 입자이면서 동시에 파동이라는 것이 입증되었다. 뿐만 아니라, 고전 물리학 입장에서는 받아들이기 힘든 가설인 빛의 이중성 뿐만 아니라, 나아가서 ‘모든 물질’이 파동이면서 동시에 입자라는 것을 양자역학(量子力學, Quantum Theory)이라는 현대 물리학 이론으로 (매우 복잡하지만) 설명할 수 있게 되었다. 이것은 20세기의 또 다른 코페르니쿠스적(Copernican) 발상이 아닐 수 없었다.

3.파동 함수

‘신은 이 세계를 창조하는 데 아름다운 수학을 이용했다. (God used beautiful mathematics in creating the world. – Paul Dirac)’

몇 만 광년(光年)이나 떨어진 별(Stars)이 보내는 빛은 ‘우주의 암호’이다. 별이 보내는 빛의 암호를 분석하므로써 우주의 이야기를 들을 수 있는 것이다. 즉, 빛의 속도로 달려서 수 만년이나 걸리는 거리에 떨어져 있는 별이 보내는 빛의 ‘파장’을 측정함으로써 얼마나 빨리 별들이 우주 바깥(또는 안)쪽으로 움직이고 있는지를 알아낼 수 있고, 따라서, 우주가 얼마나 빠른 속도로 팽창 (또는 축소)하고 있는지를 측정하면서, 태초에 우주가 시작되었때의 시기와 모습을 이해하기도 한다.

또한, 태양의 빛을 분광(分光)하면 파장에 따라서 적외선, 가시광선, 자외선, 엑스선, 감마선으로 구분할 수 있고, 세상에 있는 가지각각의 색(色)도 빛의 파장에 따라 우리 눈에 그렇게 보이게 되는 것이다.

사실, 빛, 색, 소리뿐만 아니라, 사람에게 보이게도 하고 소리를 내기도 하고, 만질 수 있거나 느낄 수 있게도 하지만, 보이지 않는 빛(전파)도 많다. 설사 보이는 빛의 경우라도, 희미한 빛의 반짝거림만이 자기를 나타내는 전부는 아니다. 만약 빛과 모든 물질을 창조한 신의 언어를 조금이라도 더 이해한다면, 듣거나 볼 수 없는 속삭임일지라도, 그들이 우리에게 진정 전하고 싶은 엄청난 의미를 훨씬 더 많이 밝혀 낼 수 있을 것이다. 즉, 빛을 포함한 우주의 모든 물질은 미묘한 수학의 언어로 우리에게 무언가를 전달하고 있는 것이다. 우주의 암호처럼…신의 언어처럼…

역사상 가장 위대한 10인의 물리학자 중 한 명인, Paul Dirac이 말한 것 처럼, ‘신은 이 세계를 창조하는 데 아름다운 수학을 이용’한 것이다.

4, BC주 12학년 과정의 삼각함수

Sine과 Cosine 그래프

삼각함수는 파동함수의 대표적인 예이다. Sine 그래프, y = a sin ( b(x – c) ) + b 은, 주기(또는 파장) p 는 2π / b이고, 진폭(amplitude)는 ⅠaⅠ인 주기(周期, periodic) 함수이다. Cosine 그래프와 Sine 그래프는 90도 (또는 π /2 radian) 만큼 수평으로 이동했을 뿐 사실은 합동인 그래프로 보면 된다.

12학년 삼각함수(Trigonometry) 과정의 말문제 (word problems)에 나오는 ‘주기함수 (periodic function)의 응용’ 에 나오는 모든 파동은 Sine또는 Cosine을 사용해서 푸는 문제로 구성되어 있다. 구체적인 예로, Ferris wheel(놀이 동산의 풍차), 전기의 볼트, 스프링의 진동, 쓰나미등 파도나 조수 간만의 차 등 시간에 따라 높이나 크기가 커지고 다시 작아지는 주기를 가지는 문제들을 다루고 있다. 문제를 푸는 방법은 문제에서 주어지는 최저값과 최고값 등의 정보를 통해서 그래프의 수직 이동과 주기와 진폭을 찾아서 사인 또는 코사이 그래프를 그리고, 그 식을 만들면 된다.

12학년의 삼각함수 부분은 2개의 단원(chapters)으로 나누어 진다. 첫 번째는 그래프를 이해하는 것이고, 두 번째는 삼각(비) 항등식(Identities)과 방정식(Equations)에 관한 것이다. 특히, 항등식은 증명문제를 포함하고 있는데, x값에 관계 없이 (즉, 모든 x 값에 대해서) 양변이 같음을 증명(A = B) 하는 것이다. 이때, 양변 중에 좀 더 복잡한 한변의 식만 sin x 또는 cos x로 계속 바꾸어 나가면서 다른 한변과 같게 만들어가면 된다. (식을 바꾸는 과정에서 다른 한변이 더 복잡한 경우에 한해서 다른 변에 있는 식을 바꿔나가도 된다.)

삼각비의 방정식을 풀 때 학생들이 좀 복잡하게 느끼는 문제는, 일반해(一般解, general solution)를 구하는 경우인데, 치환(置換, substitution)을 이용하면 보다 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어서, sin 4x = ½ 의 일반해를 풀 때, 4x 때문에 성가심을 느낀다면, 4x = A로 치환해서 풀면 매우 간단하게 풀 수 있다. 즉, sin A = ½로 고친 후, 일반해 A = π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn 이므로, x = ( π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn) / 4 = π/24 + ½ πn, 5π/24 + ½ πn이 된다. 이때 주의할 점은, A = a + 2πn 을 붙인 ‘후(後)’에서야 A를 4x로 다시 바꿔야만 한다는 것이다. (또 다른 방법은 x = c + pn 과 같이, 주기(period) p를 사용해서 일반해를 써도 된다.)

5.12학년 삼각함수는 삼각비와 다르다

삼각함수의 Sine과 Cosine의 정의는 삼각비에서 Sine, Cosine과는 조금 개념적 차이가 있다. 원래, Sine과 Cosine은 직각 삼각형의 변(sides)에 대한 비례(ratios)를 의미하면서, sin A = 높이 / 빗변 ( opposite / hypotenuse), cos A = 밑변 / 빗변 (adjacent / hypotenuse), tan A = 높이 / 밑변 (opposite / adjacent) 로 정의되었지만, 12학년에서는 좌표 (x-y coordinate) 상에서 다시 정의 된다. 즉, sin A = x/r, cos A = y/r, tan A = y/x , 반지름 r = √( x2+y2 ) 로, 반지름 막대(Terminal arm)의 끝 점 (x, y)의 x와 y를 이용하여 정의한다. 이렇게 하면, 예각(銳角, 0도에서 90도 사이)의 삼각비에서 360도는 물론 그 이상의 각도와 심지어 음(negative)의 값에 대한 연속적인 삼각 함수를 생각할 수 있다.

이때, 삼각함수 그래프는 더 이상 <직각 삼각형의 변의 비례>가 아니고, 반지름이 r인 <원 운동>을 높이(y)를 시간(x)에 따라 표시한 궤적(軌跡)이 되고, 이것이 삼각함수가 파동을 나타내는 주기 함수를 표현 할 수가 있게된 것이다.

고대 인도의 윤회사상에 따르면, 우주와 인생 그리고 역사 등 모든 것은 반복된다. 이것을 시간의 축으로 궤적을 그리자면, 그 궤적은 Sine이나 Cosine 그래프처럼 파동을 그리게 된다. 양자역학과 같은 현대물리학의 사상 즉, 입자로 이루어진 모든 물질이 원(윤회)운동에서 비롯한 파동운동을 한다는 것은 고대의 윤회사상이 결코 기괴하지도 비논리적이지도 않고, 오히려 현대 과학적으로도, 많은 교훈을 시사하고 있음을 깨닫게 한다. 인간 사회에 발생하는 경제, 정치 뿐만 아니라, 개인의 신체와 인생의 기복(파동)도 주기함수의 그래프를 따르고 있다. 따라서, 성장기와 쇠퇴기를 인정하고 대비하는 세계관을 가진다면 우리의 인생이 한결 행복하고 더 발전할 수 있지 않을까 생각해 본다.

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