이야기로 풀어보는 단원별 12학년 수학 예습

<송선생 교육칼럼 112>이야기로 풀어보는 단원별 12학년 수학 예습

글/사진 제공: 송시혁 <송학원 원장, seahsong@gmail.com>

캐나다 대학에 입학하려는 학생들은 12학년 영어와 수학 성적에서 ‘무조건’ 좋은 점수를 받도록 노력해야 합니다. 그런데, 대부분 이민이나 유학을 온 한인 학생들 경우, 12학년 영어 과목에서 좋은 점수를 받는 것이 쉽지 않습니다. (캐나다에서 태어난 Korean Canadian 학생들 조차도 12학년 영어 성적이 좋지 않은 경우가 많음) 반면, 한국계 학생들은 (중국계 및 일본계 학생도 포함) 12학년 수학의 경우, 열심히 한다면, 비교적 좋은 점수를 받기가 어렵지 않은 것 같습니다. 다시말해서, 영어 과목은 낮은 점수를 받지 않도록 ‘선방(善防)’해야 하고, 수학 과목은 매우 높은 점수를 받아서 대학 입학 입시 ‘효자(孝子)’ 과목이 되어야 합니다.

이번 칼럼에서는 몇 회에 걸쳐 BC (British Columbia) 주 12학년 수학 교과 과정에 나오는 내용 중에서 ‘학생들이 혼돈을 하거나, 일상(日常)적인 현상으로 이해하기 힘들거나, 이론적으로 복잡하지만, 알고보면 재미있는 부분의 Topic’ 을 가능하면 수학의 ‘수와 식’을 최소한으로 사용하고, 대신 말(Verbal)로 설명해보고자 합니다.

Chapter 1. Transformation

1. Inverse function (y=f-1(x)역함수, 逆函數) vs Reciprocal function (y=1/f(x) 역수함수, 逆數函數)

이차함수와 이차함수의 역수함수

인생 역전(人生逆轉, turning one’s life around )을 기대할 수 없다면, 사람들은 더 나은 미래에 대한 희망이 없으므로, 더 이상 노력할 필요가 없을 것이다. 물론, 인생이 역전되어서 더 못한 삶을 살게되는 경우도 있지만, 인류는 현재의 불행을 벗어나기 위해서만이 아니라, 현재, 어느 정도 행복하더라도, 더 나은 미래를 꿈꾸며, 세상을 바꾸는 도전의 역사를 써왔다. 심지어, 세상이 바뀌지 않는다면, 자신 스스로 변하고 바뀌어서라도 인생 역전의 드라마를 쓰려고 한다. 역수 함수와 같이, 인생은 오르막 길을 갈 때가 있으면, 반드시 내리막 길을 갈 때도 있고, 하늘로 치솟는 것은 언젠가는 땅으로 떨어지기 마련이며 인생에서, 영원한 승자도 패자도 없다. 노력하기에 따라서, 역함수와 같이, 부자와 가난한 자가, 그리고, 성공한 자와 실패한 자가 서로의 인생이 뒤바뀌는 경우도 많다.

역함수, y=f-1(x)를 일상(日常)적인 개념으로 생각해보자. 역함수의 개념으로 생각해 보면, 모든 결과가 어떤 과정을 거쳐서 온 거이므로, 결과를 역으로 추적하면 원인을 알아 낼 수 있다. 예를 들어서, 범죄 현장(=결과)을 보고 누가 범인인지를 역으로 추적하여 찾아내는 과정과 방법은 역함수를 구하는 개념과 같은 것이다.

수학적으로도 역함수의 아이디어는 매우 중요하다. 예를 들어서, 21-x=310의 지수 방정식은 Log를 이용하지 않고는 풀기가 매우 힘들다. 하지만, 지수함수(Exponential function)의 역함수인 로그(Log)를 이용한다면 아주 간단히 풀리는 문제이다. (12학년 수학에서 배울, 복잡한 ‘로그 (Logarithm)가 왜 유용한지는 다음에 언급)

한편. 역수 함수, y=1/f(x)는 모든 것이 원래 함수와 반대의 결과를 초래하는 경우이다. 원래함수 y가 0이라면, 역수 함수의 y 값은 무한대(無限大, infinite)가 되고, 반대로 무한대의 역수는 0 (zero)이 된다. 원래의 그래프가 증가하는 추세라면, 역수 그래프는 감소한다. 하지만, 원래 함수의 y값 ‘±1’은 역수 함수로 변해도 여전히 ‘±1’로 변함이 없다 (invariant points).

1) Inverse Function (역함수, y=f-1(x))

뜻: Inverse function, 역함수의 Key point는 ‘x (원인)와 y (결과)를 서로 바꿔버리는 것’이다. 만약에 y = 2x -1의 역함수를 구한다면, 일단 x = 2y -1로 x와 y만 서로 바꾸면 되며, 일반적으로 수학의 (함수)식을 쓸 때 주로 y를 앞에 두니까 (solve for y), y = (x + 1)/2로 정리하면 더 좋다.

역함수, 역관계: 하나의 예를 더 들어 보면, y=2x2의 역(Inverse)은 x=2y2이다. 역시 y를 앞에 쓰면, y=±√(½ x)) 그런데, x=2y2는 y=2x2의 Inverse relation (역관계, 逆關係)이지만, 함수가 아니므로, 역함수가 될 수는 없다. 함수는 어떤 x 값이던, 오로지 한 개의 y값이 대응해야 하는데, x=2y2경우는 x = 8일 때, y = 2 또는 -2가 모두 대응하므로 ‘함수’라고 말 할 수는 없다.

Domain과 Range: 함수를 포함한 그래프(Relation, Graph)의x의 범위(Domain, 정의역)와 y의 범위(Range, 치역)에 대해서 많은 학생들이 혼란스러워 하지만, 사실은 간단하다. 역함수는 (또는 역관계는) x와 y를 서로 바꾸어 쓰는 것 처럼, x의 범위와 y의 범위도 서로 바꾸면 된다. 예를 들어서, y=2x2에서 x의 범위는 ‘모든 수’이고 y의 범위는 2x2이므로 ‘0보다 크거나 같은 수’ 이다. 따라서, 역관계 (x=2y2)의 x 범위 (Domain)은 ‘0보다 크거나 같은 수’이고 y의 범위 (Range)는 ‘모든 수’가 된다.

2) Reciprocal (역수함수, y=1/f(x))

간혹 학생들이 역수함수를 역함수와 혼동하는 경우가 있다. 예를 들어서, y=2x의 Reciprocal은 y=½x으로, 그 것의 Inverse, y=½x와는 다르다. 역함수의 경우, x와 y를 바꿔쓴 결과지만, 역수함수는 1/y, 또는 y=1/f(x)이다. 좀 더 예를 들어보면, y=2x2의 역수함수는 y=½x2이다.

2. Transformation (변환)

일상에서 ‘수학적 변환’의 의미는 무엇인가? 완전히 다른 사람이 된다는 의미가 기존 것을 완전히 뭉개고 다시 세우는 경우라면, ‘변환’이라고 보기 힘들다. 사실, 신의 방법, 즉 자연현상에서 이렇게 되는 경우는 드물다. 모든게 연관성을 가지는 ‘변환’을 하기 때문이다. 생물의 진화는 물론, 조물주의 창조에서 마저 신의 형상과 내성을 닮은 인간의 창조도 ‘추상적인 변환’의 다양한 방법 중 하나라고 볼 수 있지 않을까?

자연현상이나 인간사회에서도 변환을 이해하고, 받아들이고, 추구해야만 살아 남을 수 있고, 그렇지 않으면, 도태될 수 밖에 없다. 예를 들어서, 정석대로 기술을 구사하는 훌륭한 아마추어 복서가 변칙과 변환에 능란한 프로 선수의 상대가 되지 못하는 경우를 보면 쉽게 알 수 있다. 복싱의 기본 기술을 보더라도, 가장 기본 기술은 ‘스트레이트’이지만, 훅이나 어퍼컷 기술도 모두 스트레이트 기술의 변형에서 출발해야, 스트레이트의 속도와 안정성을 유지하면서, 휘어치는 파워를 구사할 수 있다. 심지어 좀 더 변칙적인 더킹과 위빙(몸을 흔들거나 위 아래로 움직이면서 상대방 펀치를 회피하는 움직임)을 하면서, 또 어느 위치나 거리, 어떤 자세, 어떤 스텝에서도 내가 필요로 하는 모든 펀치를 정확히 날릴 수 있어야만 한다. 다양한 펀치를 연속 동작으로 하는 콤비내이션 기술을 쓸 경우, 약간 씩 변형된 각각의 기술로 연결해야 하는 것은 물론이다. 즉, 세상의 모든 것은 변형되어서 발전되거나 진화되어 활용하지 않으면, 성공할 수 없다는 것은 명백하다.

교과 범위: BC주 12학년 과정에 나오는 Transformation (변환)은 주로 비교적 간단한 1차 변환과 역수함수에 대한 것이다. 위의 1차 변환에는 오른쪽, 왼쪽, 위쪽, 아래쪽으로 평행이동, 수평과 수직 방향으로의 확대와 축소 변환, 그리고 역(함수)변환과 절대값 함수 변환을 포함하고 있다.

12학년에서 배우는 Transformation은 고등학교에서 나오는 모든 함수의 그래프를 그리는데 꼭 필요한 지식이다. 2차 함수의 포물선을 비롯해서 절대값 함수, 무리 함수, 삼각함수 등의 가장 간단하고 기본적인 그래프의 형태를 알면, 평행 이동과 확대 및 축소가 복합적으로 이루어진 그래프를 어렵지 않게 그릴 수 있기 때문이다.

활용: 여러가지 수학적 변환은 기술과 과학 등에서 활용 범위가 매우 넓다. 일차변환의 경우, 건축 설계, 컴퓨터 그래픽 등에 활용되는 것은 기본이다. 매우 추상적인 변환으로 수학 전공자들만 배우는 ‘위상(Topology)변환’의 경우, 이론을 이해하기는 상당히 힘들어서, ‘도대체 이런 수학 이론을 어디에 활용할까’하고 의문을 갖기 쉽지만, 사실 그 활용도의 폭과 깊이는 매우 다양하다. 예를 들어서, 지하철 노선표의 경우처럼, 거리나 위치는 완전히 무시하고, 순서와 이음선만을 유지하면서 단순화하는 변환부터, 우리가 시각적으로 상상하기 힘든 4차원이상의 우주 시공간을 추상적으로 이해하는 것에도 활용될 수 있다. 이러한 변환의 이해는 심지어 연애 감정, 대전쟁의 발발, 인간의 통제를 벗어난 주식 및 금융 시장의 복잡하고 파국적인 현상을 단순화하여 분석할 수 있는 도구로 활용도가 발전해 가고 있다.

이 단원을 배우고 있거나 이미 배운, A학점 학생들이 주의 할 점

그래프의 변환과 좌표계의 변환: 학생들이 Transformation을 공부할 때 변환의 의미를 ‘그래프의 변환’으로 알고 있지만, 사실은 ‘좌표계의 변환’이라는 사실을 이해하지 못하기 때문에 관련된 문제의 답을 틀리는 경우가 종종 있다. 그런데, 이것은 학생들의 잘못이 아니라, 학교에서 이런 개념을 설명하지 않기 때문이다.

학교에서 배우는 간단한 예를 들자면, y=3x2을 ‘수직방향으로 ½로 축소 ( vertically compressed by ½)’하면, y=½(3x2)=2/3x2라는 식으로 쉽게 푼다. 하지만, 실제 학교 시험에서 조차, 문제를 살짝만 바꾸어도 위의 방법으로는 풀기가 힘들어진다. 예를 들어서, x=4y2 그래프를 전과 동일하게 vertically compressed by ½ 한다면, x=½(4y2)로 잘 못 푼다든지, ½x=4y2 (즉, x=8y2)) 등으로 잘 못 푸는 경우가 많다. (정답은, x=4(2y) 즉 x=16y2 이다.

변환의 순서: BC주 고등학교 선생님들이 가장 잘못 가르치는 부분이 ‘여러 변환의 순서’이다. 예를 들어서, 예를 들어서, ?=−2/If-1(x)+1I 와 같이, 역함수, 절대값함수, 역수함수, 축소/확대, 수직이동, x,y축으로 대칭 변환 등이 함께 나오는 경우, 어떤 변환(Transformation)의 순서부터 적용해야할지, 마구 잘 못 가르키고, 잘 못 푼다. 학교에서는, 예를 들어서, ‘대칭보다는 역수함수를 먼저 푼다’ 라던가, ‘축소/확대 보다는 역함수를 먼저 푼다…’ 등 일부 문제의 경우에만 답을 맞출 수 있는 근거 없는 법칙(요령?)을 가르치기기도 한다. 칼럼 지면상/성격상 자세히 설명하기 힘들지만, 이 단원을 배울 때 중요한 것은 x, y의 식(equation, 式)은, 점(point) 자체의 변환을 표현하기 보다는 좌표계의 변환을 의미한다는 것을 이해해야 한다. (위 transformation의 올바른 순서는, ‘inverse, shift up 1, absolute value of y, reflect in x-axis, vertically compressed by ½, reciprocal’의 순으로 변환하거나, ‘inverse, shift up 1, absolute value of y, reciprocal, reflect in x-axis, vertically expanded by 2’의 순으로 변환하면 된다.)

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