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빅토리아 한인여성회가 주관하는 문화교실에서는 오는 8월7일부터 영어교실 기초반을 개설한다.

기초반은 7일부터 매주 금요일 오전 10시~12시까지 송학원에서 진행되며 송시혁 송학원 원장이 지도한다.

여성회는 “‘쌩! 기초문법부터 회화까지’ 라는 캐치프레이즈로 진행되는 기초반은 한국말로 문법기반을 쌓고 회화를 병행하여 기초를 닦은 후 중고급 반으로 올라갈 수 있도록 강의가 진행될 것 “이라고 소개했다.

한편 기존의 영어교실 중고급 반은 7,8월 방학을 갖는다.

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윤석주 씨(사진 오른쪽 두 번째)가 생애 첫 홀인원을 기록하는 짜릿한 기쁨을 누렸다.

윤석주 씨는 지난 28일 오후 베어마운튼 골프리조트 마운튼 코스에서 부인 박경순 씨, 신봉수-장은진 씨 부부와 조를 이뤄 라운딩을 즐기던 중 4번홀(파3, 150야드)에 이르러 7번 아이언으로 가볍게 가격한 볼이 그린 앞에 떨어져 몇 차례 바운드 한 뒤 그대로 홀 컵 속으로 빨려 들어간 것.

현재 베어마운튼 한인골프동호인회 회장으로 봉사하고 있는 윤 씨는 “클럽을 잡은지 20여년 만에 처음 기록하는 홀인원이라 기분이 제법 괜찮다”면서 “환갑 넘어 늦으막이 득남한 그런 기분”이라고 소감을 전했다.

부인 박 씨도 지난 1월 같은 코스에서 홀인원을 기록한 바 있다.

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한상영
빅토리아문학회 회원

이명박이 서울 시장을 하면서 의욕에 차서 벌인 핵심적인 사업이 청계천 복원이었습니다. 박정희 전 대통령이 지저분한 청계천을 복개하고 그 위에 고가도로까지 만들어 교통을 원활하게 한 개발시대의 상징이었는데 복개 후 30년, 1900년대에 와서 복개 구조물과 고가도로의 안전문제가 심각하게 대두되었습니다. 속전속결 군대식 개발독재의 후유증이 나타나기 시작한 것입니다. 사회 일각에서 부터 복원해야 한다는 여론이 일어나는 것을 이명박이 잽싸게 정치 아젠다로 삼고 서울시장에 출마했고 개발시대의 아이콘답게 짧은 시장 재임기간 안에 복원을 끝냈습니다. 도심을 흐르는 개천과 깔끔하게 정리된 천 주변을 접한 많은 시민들이 열광했고 그 후광으로 이명박은 대통령까지 되었습니다. 얼마나 신나는 일입니까 그야말로 개발시대의 행운아인 것은 틀림없어 보입니다. 청계천이 그에게 한 나라를 주무를 수 있는 자리까지 만들어 준 것이 고마워 그는 호를 청계라고 지으면서 한가지 사실을 깨달았습니다. 뭐든 만들어 놓고 보면 사람들은 열광하게 되어 있다는 신조가 생긴 것입니다. 남한을 종단하는 운하를 파겠다는 공약을 내 놓은 것입니다.그런데 그게 너무 이치에 맞지 않는 발상이라 반대가 심했습니다. 원래 운하란 멀리 돌아가야하는 바다와 바다사이를 잇는 짧은 거리의 낮은 지형을 골라 횡단하는 사업인데 바다를 돌아가는 거리보다 더 먼 지역, 그것도 높은 산들을 종단하는 어처구니 없는 사업을 강행하겠다니 아무도 찬성할 수가 없었습니다. 그래도 대단한 토목공사를 벌이고 나면 그 결과를 보고 나중에 국민들이 열광할 것이라는 허황된 자기 도취에 빠져 4대강사업이라는 이름으로 아름다운 산천을 파헤치기 시작했습니다. 무모하고 무지한 아집으로 지금 한반도를 흐르는 아름답던 큰 강들이 썩어가고 있습니다. 먹을 수 없는 것은 물론 수영할 수 없는 물이 되었고 물고기가 살아남지 못하는 물이 되었습니다.

지난해 25년만에 찾은 한국, 고등학교 친구가 자랑스러운 듯 복원된 청계천을 안내했습니다. 그런데 내 눈에는 온통 세멘트로 발라진 도시 한 가운데를 흐르는 세멘트로 발라진 우중충한 모습의 인공 수로로 보였습니다. 더구나 시궁창냄새까지,.. 청계천을 흐르는 물은 하루 12만톤으로 한강에서 양수기로 퍼올리는 방식이라 물값과 전기값으로 엄청난 세금을 낭비한다고 합니다. 분수대, 조명시설, 벽화,산책로, 기타 초현대식 조형물들로 인해 화려하게 연출해 놓은 현대식 조경시설같은 느낌만 받았습니다. 세멘으로 발라 놓은 물 바닥 밑에는 3중으로 콘크리트 차수막이 쳐져 있어 물이 땅으로 스미는 것을 방지하였답니다. 그런 환경에서 물고기들이 어떻게 살 것인지 의문이 들었습니다.

박경리선생이 살아 계셨을 때 어느 모임에서 한 말씀이 생각났습니다. 서울의 역사와 문화를 회복하기 위해 반드시 청계천을 복원해야 한다고 주장하셨고 원주에 있는 토지문학관에서 심포지움까지 개최하며 복원을 독려한 그 일을 그렇게 후회하지 않을 수 없었다고 하셨습니다. 역사와 문화를 아는 사람들이 주관하여 환경과 생명에 대한 인식을 바탕으로 장기적인 사업이어야 할 것을 개발독재시대의 사고로 개인의 영달을 위해 졸속으로 이루어질 것을 예상하지 못하고 그들의 탐욕을 도와준 꼴이 되었다고 한탄하신 것입니다. 어디를 보아도 역사와 문화와는 동떨어진 현대식 조형물이 되버렸다는 것이었지요. 더구나 복원시 발굴된 오간수문의 유구들, 청계천 1가와 2가에서 발굴한 수백미터 길이의 조선시대의 석축들, 이런 귀중한 우리 문화재가 중랑종말하수처리장 공터에 방치된 채 훼손되고 있는데 그 사업으로 영달을 얻은 자는 문화재가 훼손되건 말건 가버렸고 다음에 온 사람도 역사와 문화에는 문외한들 뿐이었으니 박경리선생께서 그런 말씀을 하지 않을 수 없었을 것입니다.

그러나 문화재가 훼손되거나 말거나 역사나 문화 생태와 환경, 생명등 고차원적인 용어들을 알 필요가 없는 많은 시민들이 칼라플하게 솟구치는 분수와, 칼라플한 벽화들, 칼라플한 조명으로 장식되는 인공폭포와 현대식 수변공간을 보며 이국적인 정취를 느끼고 즐기는 장소가 되고 있으니 많은 지식인이나 학자들이 한탄을 한들 어떻든 성공한 토목공사라 할 수 있겠지요.

그런데 이런 사고방식을 가진 사람들은 개발시대, 뜨거운 사막에서 고생하며 외화를 벌어 들인 전쟁시대 사람들 뿐만이 아닙니다. 개발독재 시대를 거치며 돈이라는 결과만 얻을 수 있다면 모든 불법적인 과정이 용서되는 사회적 암묵이 다음 Generation 까지 이어져 왔다는 것입니다. 눈에 보이고 손에 잡히는 돈이라는 실체 앞에서 역사니 생명이니 하는 추상적인 개념이 들어설 자리가 없었던 것입니다. 눈앞에서 펼쳐지는 화려한 광경만 있으면 사람들을 열광시킬 수 있는데 눈에 잘 들어나지 않는 내용을 충실히 할 필요가 없다는 사고가 대세였던 시대가 너무 길었지 않았나 싶습니다.

그래서 그런 사고방식은 한국을 떠나 사는 이민사회 내에도 어쩔 수 없이 뿌리가 깊게 퍼져있는 것 같습니다. 밴쿠버에 있을 때 너무 외형적인 것을 추구하느라 이런저런 잡음이 한인사회를 시끄럽게 만들곤 했습니다. 어떤 한인단체에서 그 단체의 규모에 비해 너무나 버거운 대단위 사업을 발표하고 기금을 모금했습니다. 이명박처럼 세금을 마음대로 쓸 수 있는 형편이었으면 좋았겠지만 몇 안되는 회원으로 대 사업을 할 큰 기금을 확보하기 어렵다 보니 지지부진해질 밖에 없었습니다. 다음 사람에게 사업이 넘어가고 인계받은 사람은 어차피 기금확보가 어려우니 적극성을 띄지 않았지요. 그런데 그나마 걷힌 돈은 그저 공돈 같았는지 매년 불상사만 일어나게 되더군요.
이런 일은 그저 조그만 예에 불과합니다.

우리는 4000년이라는 긴 역사를 가지고 있습니다. 50년이라는 일천한 역사를 가진 싱가폴에 가면 얼마든지 볼 수 있는 그래서 쉽게 싫증 나는 그런 현대식 구조물밖에 내세울 것이 없는 그걸 4000년의 역사를 가진 우리가 흉내 내고는 복원했다고 열광한다는 것은 지극히 자존심 상하는 일이 아닐 수 없습니다. 240년밖에 되지 않은 역사를 가진 미국에서 흔히 볼 수 있는 화려한 인공 조형물을 본떠 만들어 놓고 열광한다는 것도 부끄러운 일이 아닐 수 없습니다.
내실이 없으면 자존심도 없는 것인가 봅니다.

많은 사람들이 그러더군요. 죽기 전에 한번은 로마나 파리, 런던을 여행하라고.

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문제) 어떤 곰이 한 지점(=A점)으로부터 출발하여 정남(正南, due south)으로 X 마일 간 후, 왼쪽으로 돌아 정동(정동, due east)으로 같은 거리(X마일)를 걸어갔다. 그리고 다시, 왼쪽으로 돌아 정북(正北, due north)으로 X 마일 걸어 갔더니, 자기가 처음 출발한 A 지점에 정확히 도착하였다. 그 곰의 색깔은 무엇인가?

풀이) 그 곰은 흰색곰(북극곰, a polar bear)이고, 처음 출발한 A 지점은 북극(the Arctic)이다. 지구를 정확한 구 모양으로 가정하자. 곰이 처음 서 있던 곳이 북극점이면, 사실, 어느 방향으로 가던, 정남향으로 향하게 된다. 그 다음, 90도 좌회전하면 정동향으로 향하게 되며, 다시 좌회전하면 정북향, 즉 A지점(북극)으로 다시 향하게 된다.

수학적 논리=연역법(演繹法, deductive reasoning)

과학적 결론은 ‘여러’ 사례의 실험결과로 사실을 증명하는 ‘귀납적(歸納的, inductive)’ 논리에 근거하는 반면, 수학적 결론은 ‘모든’ 경우에 필연적으로 합당해야만 하는 ‘연역적(演繹的)’ 논리에 따라 엄밀한 ‘증명(證明)’을 요구한다. (‘수학적 귀납법’은, 사실은, 분명히 ‘연역법’에 속한다.)

다른 과학과 달리, 수학은 모든 경우를 생각해 보아야 한다. 따라서, 위의 문제도, 곰이 남쪽으로 걸어가서 지구의 북반구, 적도, 또는 남반구에 도달하는 경우와 심지어 남극에 도달하는 경우도 생각할 수 있다. (아래의 문제에 대한 해설 (1)~(5) 는, 복잡하다고 생각하는 독자는 그냥 넘어가도 좋다.)

(1) 북극점에서 출발하여, 북반구내에서만 걸어다닌 일이라면, 정답은 설명한 바와 같이, ‘북극에 있는 백곰’이다. (2) 만약에 훨씬 먼 남쪽으로 적도를 넘어 X 마일을 가면, 남반구에 이르게 된다. 거기서, 왼쪽, 즉 동쪽으로 같은 X 거리만큼 걸어가려면, 지구는 둥그니까 지나갔던 길을 중복해서 걸어야하는 문제가 발생하지만, (지나간 길을 다시 걸어가는 것이 허용된다면,) 어째든, 다시 왼쪽으로 돌아 북쪽으로 X 거리를 걸어갈 때, 출발한 북극점에 도달할 수 있다. (3) 북극점에서 남극까지 걸어갔다면, 남극점(Antarctic, South pole)에서는 어느 쪽으로 움직이던 북쪽이 되므로, 왼쪽으로 돌아 동쪽으로 갈 수가 없고, 문제가 성립하지 않는다. (4) X의 거리가, 지구 원주의 반보다 긴 경우, 북극점에서 출발해서 남극점을 넘어가는 순간부터는 방향이 북쪽을 향하게 되므로 문제가 성립되지 않는다. (5)만약, 남극에서 출발했다면, 남쪽으로 걸어가는 것이 불가능하므로 문제가 성립이 되지 않으므로, 남극에서 출발한 것은 아니다. (참고로, 남극에는 곰이 살지 않는다.) (6) 만약, 북극과 남극이 아닌 지점에서 출발했다면, 90도 좌회전을 두 번 했을 때, 출발점과 도착점은 일치할 수가 없다.

따라서, (1)과 (2)의 경우에만, 곰의 색깔을 흰색이라고 말할 수 있다.

위의 풀이는 (수학적으로 볼 때, 여전히 논리적 엄밀성에 허점을 내포(內包)하고 있지만,) 수학이 논리력에 많이 의존하고 있는 것을 보여준다. 하지만, 풀이과정을 잘 살펴보면, 북극점에서 출발했다는 것을 이미 알아챈 후, 답을 증명하려고 시도했다는 것을 알 수 있을 것이다. 논리적으로 크게 문제될 것은 없지만, 일단 수학을 풀기 위해서는 논리력뿐만아니라, 직관력과 창의력이 있어야 됨을 보여주는 좋은 예이다.

수학 공부에 필요한 사고력

수학을 잘 공부하기 위해서는, 특히 기억력, 계산력, 문장 이해력, 논리력, 공간력, 추상력, 창의력, 지구력 등이 요구된다. 하지만, 이런 지적 능력도 대학 1~2학년 수학을 공부하기 위해서라면, 보통 사람의 보통 수준으로 충분하며, 설사 일부 능력이 부족하더라도, 학습으로 개발될 수 있다. 만약 타고난 지적 능력이 전적으로 학업 성취도를 좌우 한다면, 대학들이 입시 사정에서 학교 성적이나, 시험 성적, 지원서 등을 평가할 필요 없이, 간단한 IQ test만 체크해 보면 될 것이다. 하지만, 지적 능력은 학습되어 개발될 수 있다. 따라서, 학교(원)는 단지 지식 전달의 역할에서 머무르지 않고, 학생들의 지적 능력을 최대한 개발하는 곳이다.

1. 기억력 (Power of Memory):

수학을 꽤 잘 한다고 생각하는 학생들에게 수학을 왜 좋아하느냐고 물으면, 다른 과목보다 별로 외울 것이 없기 때문이라고 대답하는 경우를 많이 본다. 수학 선생님들마저도 수학은 기억력을 별로 요구하지 않는 공부라고 말하는 경우도 있다. 대부분 독자들도 이 말에 공감하는 것에 필자도 충분히 이해가 간다. 하지만, 필자는 수학에 꼭 필요한 지적 능력 중에 하나가 기억력이라는 점을 강조하고 싶다. 물론, 자칫 이 말을 오해해서, 수학 문제풀이를 무조건 외우기 위해서 기억력이 요구된다는 뜻은 아니다.

수학에서 기억력은 <정의, definition> 및 <정리, theorem>과 특히, <정의의 제약 사항 및 정리가 성립하기 위한 조건>을 정확하게 기억하는 것이다. 물론, 문제를 많이 풀다 보면, 이런 수학적 개념들이 저절로 외워지는 것도 사실이지만, 그런 방법 보다는 문제를 풀기 전에 정의와 정리를 먼저 이해하고 숙지한 후, 문제를 풀 때, 어떤 정의와 정리를 이용하고 있는지를 학생이 인지(recognition, perception)하면서 풀어나가는 것이 훨씬 더 바람 직하다.

고등학교에서 배우는 정도의 정의와 정리를 기억하지 못할 사람이 많겠냐는 의문을 갖는 독자들도 많겠지만, 실제로는 수학 공부를 하는 데 정의와 정리부터 기억하려는 학생들이 많지 않으며, 대신, 곧 바로 패턴별 문제 해법에 따라서 문제를 푸는 습관을 가지고 있는 학생들이 의외로 많다. 결국, 이런 패턴별 학습 방법은 창의력(creative thinking ability)을 잃어버리는 결과도 가져온다.

필자는 많은 학생들을 지도하면서 가장 절실하게 느낀 점은, 수학을 잘 하지 못하는 학생들의 가장 큰 문제점이 수학을 공부하는데 정의와 정리를 이해하고 정확히 <기억>하려는 노력을 하지 않는다는 점이다.

현재, 수학 공부에 문제가 없다고 생각하는 학생들도, 수 많은 추상적인(abstract) 정의와 정리를 이해하고 기억하여 문제를 풀어가는 습관을 소홀이 하면, 대학에서 수학, 물리, 수리 경제학 등을 전공할 경우, 고급 수학을 이해하고 발전시키는 것에 다소 어려움이 있을 것이라고 생각한다.

2. 계산력 (Computational ability)

수학을 풀기 위해서는 계산력을 필요로 하는 것은 너무나 당연하다. 계산력이 약한 학생들은 지금부터라도 최소한 수와 식의 분수(fraction form)계산, 인수분해, 지수와 근호(radical form)의 계산에 능숙해야 한다. 이러한 초등 계산력은 대학 미적분(calculus)을 공부하면서 더 심각히 요구된다.

대학에서 수학을 전공하는 경우, 실제 수(number)의 계산은 거의 하지 않는다. 대신, sigma 등을 이용한 기호(semiotics) 계산에 능해야 한다.

3. 물리적, 추상적, 공간 이해력 (The Perception on Physical and/or Abstract Space)

수학은 공간(space)를 이해하려는 학문이다. 기초적으로는 문제를 읽고 기하학적인 도형을 그리면서 문제를 이해할 수 있어야 하고, 그래프를 분석하고 예측할 수 있어야 하고, 다차원(nth-dimensional) 다변수 (multivariable) 그래프나 관계 형태를 집합 (Set theory)으로 추상화하여 이해할 수 있는 능력도 필요하다.

필자가 고등학교 때 본, 어떤 유명한 경시 대회에서 요구한 문구가 지금도 생각나서 소개하고자 한다. <유명한 수학자 중에는 맹인(blind)도 많다. 따라서, 풀이 방법은 도형이나 기하학적 그래프로 설명하기 보다는 대수적으로 푸는 것을 강력히 권고 한다.>

그래프를 그려보는 것은, 간혹 수학의 엄밀성(rigor)을 해치기도 하지만, 문제를 분석하고 가시적(visible)으로 이해하기 위한 좋은 도구(tool)임에 틀림이 없다. 하지만, 맹인이 아니더라도 3차원 이상을 다루는 문제를 2차원 지면상에 그림으로 표현하는 것은 한계가 있으며, 결국 수학은 4차원, 5차원…. 유한 n차원을 넘어서 무한 차원까지 다루게 되므로 공간 이해를, 우리가 생각하는 시각적인 차원에서 추상적인 논리체계로 발전시킬 수 있는 추상적 이해력이 요구된다.

4. 창의력 (Creative ability)

실제로 일반적인 중고등학교 수학을 공부하기 위해서는 창의력이 거의 요구되지는 않는다. 대학에서 전공을 하지 않는 경우, 학부 1학년에서 배우는 수학 정도는 창의력이 없어도 수학공부를 잘하는데 크게 문제가 없어 보인다.

하지만, 입시에서는 기존에 학습된 형태의 문제만 출제되는 것은 아니다. 간단하지만, 새로운 아이디어를 담은 문제의 형태는 얼마든지 출제될 수가 있다. 이때, 이런 문제를 풀기 위해서는 약간의 창의력을 발휘하는 능력이 필요한데, 정의와 정리로 시작하여 문제를 푸는 습관을 가지지 않고, 패턴별 학습에 익숙한 학생들이 이런 단순한 신종(a new style) 문제에 의외로 고전한다.

한편, 경시 대회 문제를 풀기 위해서는, 간혹 문제에 나와 있지 않은 보조선(an auxiliary line)을 그린다든지, 문제를 단순화(simplification) 시킨다든지, 문제를 역(reverse)으로 뒤집는다든지, 패턴을 발견한다든지, 다양한 아이디어와 창의성이 수시로 요구되기도 한다.

5. 문제 이해력 (Understanding a question)

수학 문제를 푸는 데는, 사실, 문제를 읽고 이해할 수 있는 능력이 가장 요구된다. 중고등 학교 시험에서는 문제를 완전히 이해했다면, 푸는 것은 사실상 시간 문제일 뿐인 경우가 대부분이다. 문장제 문제(word problems)에서는, 일반 언어적 문장이다 보니, 모호한(vague, ambiguous) 표현이나, 심지어 일부 표현이 생략(omit)되어 있는 부분도 있다. 따라서, 우선 일반 언어를 이해하고 그 것을 ‘수와 식’ 등 수학적 모델로 바꾸어 가는 것이 문장제 응용문제 풀이의 핵심이다.

6. 논리력 (Logical ability)

비단 수학뿐만 아니라 모든 학문은 논리력이 필요하다. 그 중에서도 수학에는 연역적(deductive) 논리에 100% 의존한다. 반대로 사회/자연 과학은 귀납적(inductive) 논리에 많이 의존한다. 귀납적 논리란, 여러 사례를 조사하고 실험하고 분석한 후에 전체에 적용하는 소위 ‘과학적’ 사고 방식인데, 장점은 편견을 피하고 실제 실험과 예에 근거한 객관성에 두고 있지만, 한편, 여러 사례라고 하지만, 결국 전체의 일부를 근거로 전체의 결론을 내리는, 논리적으로 피할 수 없는 치명적 결함을 가질 수 밖에 없다.

위에서 언급한 바와 같이, 수학에서도 귀납적 방법을 유사하게 쓰기도 하지만, 사실 이것은 전적으로 연역적 논리에서 한치도 벗어 나지 않는다. 또한, 귀류법(reduction to absurdity, or indirect proof)은 수학에서 너무나 흔하게 쓰는 연역 논리이다. 수학적 귀납법과 귀류법에 대한 내용은, 교육을 주제로한 칼럼 지면에서 세세하게 설명하기에 무리가 있으므로 생략하지만, 수학을 공부하는데 꼭 알아야 하는, 두 가지 중요한 수학적 논리 개념이므로, 수학 경시대회에서 주관식 답을 잘 쓰려고 생각하는 학생들은 필히 익혀두어야 한다.

사실, 일반적인 수학적 논리력이 약한 학생들의 특징을 보면 논리적 전개에 약한 것이라기 보다는, 근거가 없는 내용을 사실인 것처럼 착각하여 이용하려는 경향이 있다. 예를 들어서, 도형 문제에서, 주어진 조건이 없는데도 불구하고, 그림만 보고 직각 삼각형이나 이등변 삼각형이라고 간주하고 문제를 풀어가는 경우이다. 이 보다 더 심각한 것은 정의와 정리로부터, step by step으로 논리적으로 풀어나가려는 시도를 포기하고, 문제를 분석하기도 전에, 비슷한 문제를 어떻게 풀었는가 희미한 기억을 더듬어 가며, 풀이 절차를 재생 copy하려는 습관을 가진 학생들이 간혹 있다.

이런 학생들의 잘 못된 습관은 수학을 잘 못하게 하는 사실상 최악의 문제점이다. 하지만, 치유방법은 간단하다. 본인이 풀기 힘든 문제는 풀이 방법 읽어(또는 배워)갈 때, 한 단계, 한 단계마다 항상 ‘왜?’라는 의문을 가지고 이유를 분명히 한다는 것이다
.
하지만, 이런 모든 지적 능력이나 재능 여부에도 불구하고, 수학 공부에 미치는 가장 큰 요인은 ‘연습’이라는 것을 잊어서는 안 된다.

글:송시혁 (송학원 원장)

빅토리아투데이 2014년 2월7일

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예 1

어떤 한국 신문 기사의 내용이다. 미국의 하버드 학생 그룹이 한국의 강남을 방문해서, 한국 고등학생들의 공부열에 감탄을 했다. 특히, 한국 학생들이 공부하는 레벨의 한국 수학 문제로 한국 고교생들과 문제를 풀어보기도 했는데, 한국 학생들(물론, 공부를 잘하는,,,)은 거의 다 문제를 제대로 풀었지만, 하버드 학생들은 60% 정도의 문제만 풀 수 있었다고 한다.

하지만, 과연 한국 학생들의 수학 실력이 하버드 학생들 보다 좋았다고 말할 수 있을까? 캐나다와 미국 수학 교육에 대해서 경험하고 느껴온 필자는 그렇지 않다고 생각한다. 다시말해서, 한국 문제의 유형에 익숙한 한국 학생들이 한국식 고교 수학을 더 잘 풀었다는 것으로, 한국 수학 교육 방법이 전체적으로 더 좋다는데는 쉽게 동의할 수가 없다.

예 2

몇년 전 MIT에 입학한 일본계 이민자 학생의 이야기이다. 정확히 말하자면, 그 학생의 어머니는 일본인이고 아버지는 네덜란드계 미국인 출신이다. 물론, 그 학생을 비롯하여 위에서 언급한 그의 부모와 동생은 현재 모두 캐네디언 시민으로 빅토리아에 살고 있다.

그 학생은 일본에서 6학년을 마치고 캐나다에서 중고등학교를 다녔다. 그런데, 그와 일본인 어머니는 일본에서 배우던 수학에 비해서, 캐나다 수학의 레벨이 최소 2년 이상 낮다는 것에 답답함을 느꼈다. 따라서, 학교 수학공부와는 상관없이 일본에서 배우던 수학과 연결해서, 7학년부터 대략 캐나다나의 9학년 과정부터 계속 공부하기 시작해서, Mt. Douglas 9학년에 입학하자마자 학교에서 Calculus (미적분)를 공부할 수 있었으며, AP(Advanced Placement) 시험에서 좋은 성적을 받았다. Calculus를 마친 후, 10, 11, 12학년을 거치면서, UVic에서 수학공부를 계속하였으며, 고등학교를 졸업할 때는 대학 2학년 수학은 물론, 대학 3학년 수학과목도 공부했다. 고등학교를 졸업할 즈음에는 MIT(물리학)를 지원했고, MIT 2학년 과정부터 공부할 수 있다는 입학 허락을 받았다.

(그의 경험을 바탕으로 여동생은 좀 더 upgrade 되었다. 고등학교(Mt. Doug)에 입학할 당시 이미, Calculus 를 마쳤고, 9학년부터 UVic에서 대학 2학년 수학을 공부했다.)

예 3

캐나다 유학을 오기 전에는 한국에서 중학교 3학년까지 수학에 관심도 없었고 잘하지도 못 하던 여학생이었다. 캐나다에 와서도 수학이 특별히 재미있다고 느낀적은 없었다. 특히 12학년 수학을 배우기 시작하면서 한국에서 어렵게 느끼던 수학의 기억이 나서 겁이 덜컥났다. 하지만, 12학년 과정을 성실하게 공부하면서 수학이 처음으로 재미있다고 느끼기 시작했다. 노력한 결과, 캐나다 12학년 수학을 학년 전체에서 최고 성적을 받았다. 그 후, 수학에 흥미를 느끼면서, Calculus 12(미적분)를 공부했고, AP 시험에서 4점을 받았다.

캐나다 대학(들)에 합격했지만, 한국에 미련이 많았던 이 학생은 캐나다 대학 입학을 포기하고 대신, 한국 대학에 입학하여 경제학을 전공했다. 대학 수학 – 미적분을 공부하기 시작했을 때, 수학 수준이 높은 한국 학생들과 경쟁하는 것이 두려웠다. 하지만, 결과적으로 그녀는 학과에서 가장 높은 점수를 받았다. 계속해서, 통계학 등의 수학에서도 뛰어난 성적을 받아, 전체 성적에서도 학과 수석내지 차석으로 2학년부터 매년 장학금을 받았다. (현재 그 학생은 성균대학교 4학년에 재학중이다.)

어려운 한국 수학을 공부하지 않은 그 학생이 한국 대학에서 어떻게 최고의 성적을 받을 수 있었을까?

수학의 한국식 선행학습(先行學習)

한국에서는 많은 사람들이 수학을 선행하여 공부하는 것을 당연하다고 생각한다. 하지만, 한국의 선행학습은 무언가 잘 못되어 있다. 대부분의 경우, 선행은 고등학교 과정까지로만 한정되어 있기 때문이다.

그러다 보니, 빅토리아에 있는 한인 부모들 중에는 한국의 선행 학습에 질려서, 캐나다에서의 발전적인 선행학습까지도 이해 하지 못하고, ‘선행’ 자체를 무조건 혐오하는 감정을 갖고 있는 사람들이 많다.

한국에서 선행 학습을 하는 이유는 오로지 대학 입시에만 초점이 맞춰져 있다. 다시 말해서, 입시에 필요한 전(全) 과정을 가능한 빨리 끝내고, 대입수능시험 (大學修學能力試驗, CSAT: College Scholastic Ability Test)을 보기 전까지 입시 문제만 반복적으로 푼다. 한국에서의 입시 상황에서는 효과적인 전략이라고 할 수 있을지는 몰라도, 막상 대학에 입학해서는 고등학교 때 수학에 투자한 엄청난 시간에 비하여 수학실력이 약한 학생들이 의외로 많다. 또한, 어려운 문제를 위주로 공부하면서 많은 시간을 소비했지만, 스스로 해법을 찾아내기 보다는 예제의 해법을 기억해서 비슷한 문제를 푸는 방식으로 훈련을 했기 때문에 실질적인 수학 능력을 향상시키지 못 했기 때문이다. 심지어, 수학적 능력이 뛰어난 학생들 마저도, 고등학교 입시 공부에만 촛점을 맞추고 시간을 투자하다 보니, 정작 미적분과 같이 대학에 꼭 필요한 수학 공부는 소홀히 한다.

캐나다/미국에서 수학 선행과 한국의 수학 선행의 차이

캐나다나 미국에서는 모든 학생들이 선행학습을 하는 것은 아니다. 하지만, 대학을 가려는 꽤 많은 학생들은 대학 입학이 목적이 아니라, 대학 입학 전에 강한 math background를 갖추기 위해 고급 단계의 수학을 미리 공부한다. 누구든지12학년 수학에만 국한하지 않고 대학 수학 즉, 미적분은 물론, 본인이 원하기만 하면, 고등학교 재학 중에도 대학 2, 3학년 과목을 인근 대학에서 얼마든지 공부할 수 있다.

다시 말해서, 한국의 선행은 고등학교 과정까지 뿐이지만, 캐나다에서 선행은 오히려 대학 1학년 과정을 넘어설 수도 있다.

캐나다에서 대학을 가려고 공부하는 우등생들이, 고등학교 과정까지는 한국의 수학처럼 난이도가 높은 문제를 잘 풀지 못 할 수도 있다. 하지만, 미적분을 배울 때 부터는 한국과 차이가 없으며 (고교에서 배우는 미적분 범위는 캐나다 교육과정이 훨씬 더 넓음), 대학 수학부터는 한국과 비슷하거나 오히려 더 심화된 캐나다/미국 수학을 공부하게 된다.

미국 대학 입시에서 요구되는 수학의 선행

미국 대학 입학 시험인 SAT I을 준비하기 위해서는 10학년 수학까지만 이해해도 되므로 특별히 선행 학습이 필요없다. 하지만, SAT (II) Subject test의 Math Level 2를 준비하려면, 우선 캐나다 고교 12학년과정과 특정부분의 미국 고교 수학 과정도 추가적으로 배울 필요가 있다. 많은 학생들이 SAT II Math L2를 10학년 또는 11학년에 보니까, 그 전에 12학년 과정을 마스터 해야만 한다. (*SAT Subject tests를 요구(required) 또는 권유(recommended)하는 미국 대학은 아이비리그를 비롯한 대략 20위권내의 대학이다.)

대학 입시를 위해서 AP 시험을 보는 학생들이 많은데, 실제로는 수학이외의 AP를 요구하는 대학은 거의 없다. 다만, 몇 학교는 SAT Math Level 2대신에 AP Calculus로 대신하거나, SAT Math와 별도로 AP Calculus를 권유하기도 한다.)
Calculus를 공부하기 위해서는 적어도 11학년 전(全)과정과 12학년의 대부분 과정을 이해하고 있어야 한다. 그리고, AP 시험은 일년에 한 번 (5월 중) 밖에 없고, 시험 결과는 7월이 되어야 나오므로, AP 시험 결과를 대학 입시에서 보여주려면, 11학년 5월에 치르는 시험이 마지막 기회이다.

결국, 역으로 계산하면, 11학년에 AP 시험을 보려면, 최소한, 10학년에 12학년 과정을, 9학년에 11학년 과정을 (학교에서 또는 개인적으로) 공부해야 한다는 얘기가 된다.

수학 공부의 선행과 수학적 재능

특별한 수학적 재능을 가진 학생들은 사실 많지 않다. 하지만, 수학을 좋아하고 점수를 잘 받는 학생은 많다. 다시말해서, 수학적 재능이 없어도, 대학에서 전공으로 공부하는 추상적인 수학을 공부하지 않는 한, 얼마든지 수학을 잘 할 수 있고, 수학에 관련된 응용 학문 – 이공계나 경제/경영 및 통계 재정분야 등 –을 공부하는데 큰 문제가 없다. 예를들어서, 아인쉬타인을 비롯하여, 유명한 수리물리학자들 가운데, 알려진 것과는 달리, 수학을 잘 이해하고는 있었지만, 사실은 수학의 천재적 재능이 있다고 보기는 힘든 사람들도 많다.

(반면, 뉴튼(Isaac Newton)과 라이브니쯔(G.W. Leibniz)는 미분적분학을 개발한, 뛰어난 수학적 재능을 가진 수리물리학자라고 말할 수 있다. )

수학적 재능이 없는 것과 수학적 이해력이 부족한 것은 다르다. 수학적 지식과 이해력은 수학을 열심히 공부하면 누구나 갖출수 있다. 하지만, 수학적 재능은 어느정도 선천적으로 타고 나야하는 부분이 있음을 부인할 수 없다.

잠재된 수학적 재능을 발휘하기 위한 방법으로는 대학 수학과 같은 상위 수학을 계속 공부해 나가는 것이 가장 좋은 방법이라고 생각한다. 반면, 무조건 어려운 경시 대회 수준의 문제로 훈련한다고, 없던 수학적 천재성이 억지로 생기는 것은 아니다. 따라서, 좀 더 차원 높은 수학적 이론을 공부하면서 수학의 원리를 탐구한다면, 잠재된 수학적 재능을 발휘하거나 (and/or), 수학적 지식및 이해력을 동시에 높일 수 있는 이중(二重) 또는 부가(附加)적 효과를 볼 수 있다.

결언

한국식 수학 교육은 분명 좋은 점도 있지만, 과도하게 입시에만 초점을 맟추어서 저학년의 어린 학생들이 무리하게 선행을 하거나, 난이도가 높은 (경시대회) 문제에 너무 초점을 맞추지만, 실질적으로 대학 입학 후 수학 실력은 결코 캐나다 우등생들 보다 높다고 볼 수 없다.

한편, 캐나다에서, 창의적이고 재미있게 공부한다는 명분으로, 쉽고 허술한 초,중,고 수학 커리큘럼을 과신하여, 안일하게 수학 공부를 한다면, 고학년 과정으로 갈 수록 문제가 많다. 즉, 초등학교, 중학교, 심지어 11학년 수학까지 좋은 성적을 받다가, 갑자기 12학년이나 Calculus를 공부할 때 나쁜 결과로, 대학입시에 영향을 줄 수 있으며, 뿐만 아니라, 대학 입학 후, 이공계나 경제.경영 관련 전공을 할 경우, 더 많은 어려움을 겪을 수 있다. 따라서, 캐나다에서는 저학년 수학부터 어떻게 공부하느냐에 따라, 대학 입학 및 진학 후 많은 문제를 가질 수도 있고, 반대로 발전적, 전략적 선행 학습을 통해서, 한국에서 보다, 훨씬 더 효율적으로 수학의 체계를 가질 수 있다는 것이 필자의 주장이다.

다음 칼럼에서는 저학년 어린이들의 수학 공부에 대해서 생각해 보고자 한다.

글:송시혁 (송학원 원장)

빅토리아투데이 2014년 1월24일

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지난 1일 148회 캐나다데이를 맞이하며 주의사당 앞 잔디밭을 비롯한 빅토리아 곳곳에서 축하 행사가 열렸다. 국가사적지인 포트 로드힐과 피스가드 등대에서는 하루 종일 라이브 뮤직과 어린이 액티비티 등이 열려 특히 휴일을 맞아 가족 단위로 피크닉을 하며 캐나다데이를 즐기는 사람들로 가득했다.

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루니화 하락에 힘입어 캐나다 여가용 부동산시장이 서서히 달아오르고 있다고 부동산회사 리맥스가 전했다.

리맥스는 지난 달 24일 발표한 ‘캐나다여가용부동산시장 연례보고서’에서 낮은 환율이 잘 조성된 캐나다 여가용부동산시장으로 외국인 구매자들을 이끌고 있으며, 특히 휘슬러와 토피노, 무스코카, 쉐디악, PEI 등이 높은 인기를 누리고 있다고 덧붙였다.

이 회사의 구린더 산두 부사장은 “외국인 뿐 아니라 미국에 별장을 가진 캐나다인들이 이를 팔고 환율이 낮은 캐나다로 눈을 돌려 여가용 부동산을 구입하는 경우가 늘고 있다”면서 “그러나 전국적인 현상은 아니고, 유가의 영향을 많이 받는 알버타나 뉴펀들랜드의 경우에는 거래와 가격 모두 고전을 면치 못하고 있다”고 소개했다.

리맥스가 최근 여론조사기관 리저에 의뢰해 전국 성인 남녀 1,538명을 대상으로 실시한 조사에서 응답자 5명 중 한 명은 현재 살고 있는 집을 줄이고 그 돈으로 여가용 주택을 구입할 용의가 있다고 답했다.

리맥스의 엘턴 애시 대변인은 “카티지나 캐빈 생활을 원하는 캐나다인들이 무척 많다”면서 “이들은 자신이 꿈꾸는 드림 하우스를 사는데 필요한 돈을 마련하기 위한 대안을 찾고 있으며, 그 중 하나는 자신의 별장을 파트 타임 또는 풀타임으로 세주는 방법”이라고 소개했다.

또 응답자들의 3분의 2는 도시보다는 카티지나 캐빈에서 연휴를 보내고 싶다는 반응을 보였고, 만일 별장을 살 수만 있다면 외국 여행을 포기할 수도 있다는 응답비율도 40%에 달했다.

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영수증을 위변조해 거액의 수리비가 들어갔다며 렌트비를 과도하게 인상시킨 건물주에게 징역 1년의 실형이 선고돼 화제다.

법원 판결문에 따르면 위니펙에 17개 유닛 아파트 건물을 소유하고 있는 건물주 호레이쇼 타바레스는 건물 수리비로 20만 달러가 들어갔다면서 임대료를 시세에 맞춰 38%씩 올리겠다고 주택임대국(RTB)에 신청했다. 그러나 수사기관이 확인한 결과 실제로 그가 실제로 사용한 수리비는 11만 달러에 불과했고, 제출된 영수증의 상당부분이 위조 또는 변조된 것으로 드러났다.

피터 에짓 검사는 “이는 탐욕에서 비롯된 행위다”며 “피고는 성공한 사업가로서 재산상태도 양호하므로 이런 짓을 할 필요가 전혀 없었다”고 지적했다. 에짓 검사는 “피고는 자신이 건물 수리비로 20만 달러를 썼다면서 정상 수준을 벗어나는 임대료 38% 인상을 정당화시키려 했다”고 덧붙였다.

주택임대국은 트레바스가 제출한 수리비 영수증이 정확하다는 그의 진술을 믿고 그가 신청한 고율의 임대료 인상을 승인했으나, 세입자들의 진술을 통해 그의 거짓이 드러나고 서류 위변조 혐의에 유죄가 인정돼 트레바스는 1년을 큰 집을 쳐다보며 살 수 밖에 없게 됐다.

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캐나다인들이 가장 신뢰하는 브랜드에 팀 호튼이 선정됐다.

빅토리아대학 구스타브슨 비즈니스스쿨이 실시한 제1회 구스타브슨브랜드신뢰지수 조사에서 팀호튼은 224점을 획득, 189점을 얻은 President’s Choice를 제치고 1위를 차지했다. 이어 Shoppers Drug Mart(184), Google(179), Canadian Tire(178), Kraft Foods(169), Campbell’s Soup(167), Heinz(165), Canada Post(165), Johnson & Johnson(161) 순으로 톱10에 이름을 올렸다.

지난해 미국의 버거킹에 인수합병된 팀호튼의 최대 주주는 브라질의 3G 캐피털이며, 캐나다의 3,773개를 포함해 전 세계에 4,724개의 매장을 보유하고 있다.

구스타브슨 비즈니스스쿨은 “주인이 바뀌었다는 사실이 지역사회와의 유대관계에 어떤 영향을 미치게 될지 지켜보는 것은 흥미로울 것”이라면서 “여러 면에서 신뢰란 사회를 하나로 묶어내는 접착제 같은 것”이라고 말했다.

이번 조사는 캐나다의 18~65세 성인 남녀 3,133명을 대상으로 40개 항목에 대해 주요 브랜드 249개에 대한 의견을 묻는 방식으로 실시됐다.

그 결과 1위에 오른 팀 호튼은 일관성과 신뢰성, 정직과 배려, 직원을 아끼고 환경에 대한 책임감 등에서 다른 기업의 추종을 불허하는 월등한 평가를 받은 것으로 밝혀졌다.

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유죄 인정 시 최대 25만 달러 벌금-1년 징역형 가능

한인으로 추정되는 두 김 씨 성을 가진 버나비 여성들이 흑곰 고기를 밀거래한 혐의로 재판을 받고 있다고 30일 프로빈스지가 보도했다.

신문은 발바닥과 쓸개를 포함한 흑곰 고기 밀거래와 야생동물 불법 소지 및 밀거래 등의 혐의를 받고 있는두 명의 Y. Kim이라는 비슷한 이름을 가진 여성에 대한 첫 공판이 지난 달 26일 포트 코큇틀람 주법원에서 열렸다고 전했다. 아시아 일부 국가에서 곰 쓸개는 전통 약재로, 곰 발바닥은 고급 식재료로 사용되고 있다고 신문은 덧붙였다.

법원 서류에 따르면 이들 두 여성은 지난해 10월 경 메릿(Merrit)과 코큇틀람 지역에서 범법행위를 하다 적발됐으며, 6개월 간의 조사과정을 거쳐 얼마 전 정식 기소된 것으로 알려졌다.

현행 야생동물보호법(Wildlife Act)은 야생동물 밀거래와 불법 소지 혐의에 대해 유죄가 인정될 경우 최대 25만 달러의 벌금에 1년 이하의 징역형을 선고할 수 있도록 규정하고 있다. 그러나 이들 두 여성은 동종의 범죄에 대한  전과가 없는 초범인데다 지금까지 법이 정한 최고 형량이 선고된 사례가 없었다는 점 등을 감안하면 이들에게 부과될 최종 형량은 그리 무거운 수준은 아닐 것으로 예상된다.

BC주의 경우 적법한 면허를가진 사냥꾼은 사냥시즌에 한해 흑곰 포획할 수 있지만, 쓸개나 생식기를 분리해 소지, 수입 및 거래하는 행위는 모두 불법으로 처벌 대상이다.

 

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