수학과 종말론

<송선생 교육칼럼 113>수학과 종말론

글/사진 제공: 송시혁 <송학원 원장, seahsong@gmail.com>

이야기로 풀어보는 단원별 12학년 수학 예습 2

노스트라다무스(Nostradamus) 연구가인 ‘고토 츠토무’는 구약 성서의「다니엘서」를 해석하여, 2017년 올 해에 분명 아마겟돈(Armageddon)이 온다고 예언했다’

1. Logarithm (로그)

1) 종말론

‘유명한 점성술사(중세의 천문학자)가, 1167년 9월 16일, 이 날 행성이 천칭자리와 조우할 것이고, 그 영향으로 세계가 끝난다고 예언. 당시 이 예언을 믿고 전 재산을 처분한 사람들이 많았다.’

‘런던의 점성술사 그룹은, 1524년 2월 1일 대홍수를 계기로 시작하는 세계 종말을 예언. 그들의 예언을 믿고 (영국에서) 2만명 이상의 사람들이 높은 지대로 집을 이주. 예언이 빗나간 후 계산착오라고 둘러대며 1624년으로 예언 수정하였다. (하지만, 또 수정한 예언이 맞지 않음)’

기원 후 인간들이 지구를 둘러싸고 있는 거대한 우주를 인식한 이래로 현재까지, 천재지변 등으로 지구의 환경이 급작스럽게 막대한 변화를 하게될 것이며, 그로 인해서 어떤 특정 시기에 인류가 결국 멸망할 것이라고 예언하는 자들이 적지 않았다. 즉, 종말론(예언)자들이다.

특히, 천문학들이 큰 수의 계산 착오까지 가세하여 의도치 않은 종말 시기의 예언도 적지 않았다고 한다. 하지만, 1600년대 초, 존 네이피어 (John Napier)란 스코틀란드 수학자의 아이디어로 복잡한 계산을 훨씬 간편하게 할 수 있는 수학적 방법과 도구를 개발하게 된다.

로그자

그 것이 바로 로그(Logarithm. Log)와 Log 자(ruler)이다. 실제로, Log의 발견으로 산수 계산이 훨씬 쉬어졌기 때문인지, 1600년 이후의 천문 연구에서 큰 수의 계산 오류가 줄어들었고 따라서, 종말 예언도 지구에 대한 천체의 영향에 관련된 것 보다는, 대신에 성경에 (잘못) 근거한 종말 예언이 많다. 그런데 재미있는 것은, 로그의 창시자 네이피어 자신마저도 후에 요한계시록에 근거하여 지구 최후의 날을 수학적으로 계산하여 예언을 시도했지만, 역시 공수표(空手票)가 되면서 망신을 당하고 말았다.

고대에는 산술과 측량으로 불리던, 수학은 동서양을 막론하고 인류 역사에서 가장 오래된 과학이고 실용적인 철학으로, 인류 최초의 체계화된 학문임에 틀림없다. 하지만, 아직은 (어쩌면 영원히) 인간이 신의 뜻과 우주의 신비를 모두 풀어낼 수 없을 것이라면, 내일 지구의 종말이 온다고 누군가 확신하더라도, 오늘은 한 그루의 사과나무를 심는 희망을 버려야 할 아무런 이유가 없다.

고대부터 이어온 지혜인 수학이라는 학문은, 인간의 오만(傲慢)이 아니고 오히려, 무지하고 연약한 인간에게 주어진 혜택에 대한 겸허와 감사의 마음을 가지고, 우주의 뜻을 이해하하기 위해서 인간의 되물림 속에 내재해온, DNA와 같은 가장 귀중한 선대의 유산인 것이다.

2) 천문학적인 큰 수를 다루는 지혜- 로그의 원리

예를 들어서, 어떤 천문학자가 987,312,890,000 667,091,239,999를 계산한다고 하자.
지금이야 계산기가 있어서 계산이 어렵지 않지만, 계산기가 없던 시절에는 큰 수의 계산은 여간 성가신 문제가 아니었다. 특히, 천문학자들이 계산을 하는데 시간 낭비가 심했을 뿐만 아니라, 자리수를 빼먹거나 추가하는 바람에 엉뚱한 계산이 되곤했다. 위에서 언급했듯이, 잘못된 계산에 근거한 착오로, 수년 안에 어마어마한 큰 유성이 지구에 충돌하거나, 노아의 방주에 나올 법한 대홍수, 또는 지구 전체를 쑥대 밭으로 만들 대지진이 발생 할 것이라고 잘못된 예언을 할 때마다 많은 사람들이 재산을 탕진하는 사태가 생기기도 했다.

그런데, 위에서 언급한 계산을 좀 더 쉽게할 수 있는 방법을 생각해 보자. 987,312,890,000와 667,091,239,999 두 숫자를 10의 지수(exponent)로 표현하면, 1011.9945와 1011.8242이다. 따라서, 두 수의 곱을 10의 지수형태로 고친 수로 곱하기를 계산하면, 지수 법칙에 따라서, 계산이 곱셈에서 덧셈으로 바뀌고 계산할 숫자의 크기도 훨씬 작아지므로, 어렵지 않게 계산할 수가 있다. , 987,312,890,000 × 667,091,239,999 = 1011.9945 × 1011.8242 = 1011.9945+ 11.8242 = 1023.8187 (= 6.587 × 1023 ) (이해를 돕기 위해서, 더 간단한 두 수의 곱을 2의 지수를 이용해서 계산하는 예를 들어보자. 4096 × 512 = 212 × 29 = 212+9 = 221 (= 2,097,152))

하지만, 어떻게 위의 10의 (또는 2의) 지수값을 쉽게 계산해 낼 수 있냐는 것이다. 그래서, 이를 위해 고안된 로그자(ruler)를 이용하거나, 더 나가서 그 지수값들을 미리 계산하여 표 (즉, 로그표) 로 만들어 놓고 큰 수를 계산할 때마다 이용했다.

3)로그의 활용

로그의 아이디어는 계산에서 곱하기를 더하기 연산으로 변하게 한 것뿐만 아니라, 엄청난 거듭제곱의 수를 곱하기로 처리할 수 있는 보너스도 주어졌다. 예를 들어서, 2100 를 계산하려면, 2를 백번 곱한 것을, 간단히 100 ×log 2 = 100 × 0.3010 = 301 , 10301로 간단한 곱셈으로 그 수의 크기를 상당히 정확히 알 수가 있게 한다. (로그의 지수 법칙:  log an = n (log a)) 

이런 계산은, 엄청나게 큰 수 뿐만 아니라, 예를 들어서, 0.0000003796과 같은 매우 작은 수에도 적용되어, 마이크로(micro)는 물론, 십억분의 1인 나노(nano)의 세계를 자유롭게 여행하게 할 수 있게 해주었다.

BC주 12학년 수학과정에서 다루는 로그의 주요 활용 문제는, 복잡한 연복리(年複利, compounded interests), 지진의 강도 (Richer scale), 방사능의 반감기(half-life) 등으로 다양한데, 거의 모두 로그의 말문제(word problems)는 바로 위에서 소개한 ‘로그의 지수법칙’으로 풀게되어 있다.

지수 방정식의 문제도 결국 ‘로그의 지수법칙’으로 푸는 것이 해법이고, 반대로 로그 방정식은 ‘로그의 덧셈 (또는 뺄셈) 법칙’을 이용하여 양변을 한 개의 로그로( 또는, 한 변은 숫자로) 만들어서 푸는 것이 해법이다. 수업 중에 복잡하기만 하고 쓸 때 없어보이는 로그를 왜 만들었을까 궁금해 하는 학생들에게, 로그의 역사부터 장황하게 이야기하기에는 시간이 너무 짧기에, 간단한 방정식 (예:7x = 6350))을 내고 로그를 쓰지 않고 풀어보라고 한다. 즉, 지수함수의 역함수인 로그 없이는 거의 불가능하고, 근사값을 구하기 위해서 많은 시간을 소요해야 하지만, 로그를 도입하면, 너무 간단해서 초 읽기 문제에 불과하다. 즉, x = log 6350 / log 7 = 3.8028 / 0.8451 = 4.5.

2. Polynomials (Chapter 2) and. Radical and Rational Functions (Chapter 3)

1) Polynomial (다항식)

2, 3 부분은 가능하면 간단히 소개하고 넘어가기로 하자. 우선, 교과과정의 Polynomials (다항식)에서 궁극적으로 배우고자 하는 부분은 3차이상의 고차 다항식의 인수분해와 그래프이다. (고차 다항식의) 그래프를 그리려면, 무엇보다 x-intercepts(x의 절편 즉, roots, zeros, solutions 모두 같은 이름이라고 생각하면 된다.)을 정확히 알고 표시해야만 하는데, 그러기 위해서는 그 식을 인수분해하는 방법이 가장 간편하다. 따라서, 3차이상의 다항식을 인수분해하는 방법을 우선 배워야한다. (예를 들어서, 인수분해된 다항식 P(x) = 2x(x – 3)(x + 4)의 x-intercepts는 쉽게 0, 3, -4임을 알 수 있다.)

2차 방정식(ax2+ bx + c = 0)은 인수분해부터 근의 공식을 이용하는 등의 방법으로 이미 저학년 때부터 많은 연습을 통해서 익혀왔기에 앞으로도 계속 익숙하겠지만, 3차이상의 고차 방정식의 경우, 분명히 고등학교에서 배우지만 계속 생소하게 느껴지는 경우가 많다. 하지만, 고교과정에서 고차 방정식의 해법은 ‘Factor Theorem(인수(因數)정리)’을 이용하여 인수분해에 한정되어 있다. 즉, 어떤 수를 x에 대입하였을 때, 식의 값이 ‘0’이 되는가를 추측해서 찾고, 그 값이 a라고 하면, 고차식을 (x – a)로 나누는 프로세스를 반복하여 인수분해하는 것 이다. 즉, P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)… = 0, x = a, b, c….

2) Radical function (무리함수)

Radical function (무리함수, y = a √b(x-c)+ d )의 중요 주제는 무리함수의 그래프를 그리는 것과 무리 방정식을 푸는 것이다. 위 그래프를 그릴 때는, 꼭지점 vertex (c , d) 와 다른 함수와 마찬가지로 x-intercept과 y-intercept을 정확히 표시 하는 것이 중요한데, 경우에 따라서는 x-intercept과 y-intercept 둘 다, 또는 둘 중 한 개가 없는 경우도 있다.

무리 방정식을 푸는 방법은 양변을 제곱해서 근호를 없애는 것이다. 간단한 예를 들자면, √(x-2) = 3의의 양변을 제곱하면, x – 2 = 9가 되므로, 결국 x = 11이 된다. 그런데, √(x-1) = -2의 방정식을 푼다고 할 때, 양변을 제곱하면, x -1 = 4가 되고, x = 5 가 되지만, 실제로 5를 x에 대입해 보면, √(5-1) ≠ -2즉, 5는 답이 될 수 없다.

왜 그럴까? 왜냐하면, ‘A = B 이면, A2 = B2’는 확실하지만, 그 역 (易, inverse)은 성립하지 않는 경우가 많기 때문이다. 즉, ‘A2 = B2일 때, A = B’는 성립할 수도, 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어서, A = 3이고 B = -3 인 경우, 를 생각해 보자. A2 = B2이지만, A ≠ B 이다.

(수학의) 논리는 엄격하고 정확하다. 예를 들어서, ‘세금을 많이 내는 사람들은 수입이 많다’라는 말이 ‘참’이라고 하자. 하지만, 역은 성립하지 않을 수 있다. 실제로, 수입이 많은 사람이라고 해서 세금을 많이 내는 것은 아닐 수도 있다 .

Copyrights ⓒ 빅토리아투데이, 무단전재 및 재배포 금지